Question

Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一個內角為60°，點P是直線AB上不同于A、B的一點，且∠ACP=30°，則PB的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況考慮：當∠ABC=60°時，如圖所示，由∠ABC=60°，利用直角三角形的兩銳角互余求出∠CAB=30°，又∠PCA=30°，由∠PCA+∠ACB求出∠PCB為60°，可得出三角形PCB為等邊三角形，根據等邊三角形的三邊相等，由BC的長即可求出PB的長；當∠ABC=30°時，再分兩種情況：（i）P在A的右邊時，如圖所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根據∠PCA+∠ACB求出∠PCB為直角，由∠ABC=30°及BC的長，利用銳角三角形函數定義及cos30°的值，即可求出PB的長；當P在A的左邊時，如圖所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根據∠ACB-∠ACP求出∠PCB為30°，得到∠PCB=∠ABC，利用等角對等邊得到PC=PB，由BC及∠ABC=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長，再利用勾股定理求出AB的長，由AB-BP表示出AP，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出關于PB的方程，求出方程的解得到PB的長，綜上，得到所有滿足題意的PB的長．
解答：解：分兩種情況考慮：
當∠ABC=60°時，如圖所示：

∵∠CAB=90°，
∴∠BCA=30°，又∠PCA=30°，
∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°，又∠ABC=60°，
∴△PCB為等邊三角形，又BC=4，
∴PB=4；
當∠ABC=30°時，如圖所示：

（i）當P在A的左邊時，如圖所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，
∴∠PCB=90°，
又∠B=30°，BC=4，
∴cosB=，即cos30°=，
解得：PB==；
（ii）當P在A的右邊時，如圖所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，
∴∠BCP=30°，又∠B=30°，
∴∠BCP=∠B，
∴CP=BP，
在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，
∴AC=BC=2，
根據勾股定理得：AB==2，
∴AP=AB-PB=2-PB，
在Rt△APC中，根據勾股定理得：AC²+AP²=CP²=BP²，
∴2²+（2-BP）²=BP²，
解得：BP=，
綜上，BP的長分別為4或或．
故答案為：4或或
點評：此題考查了含30°直角三角形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定與性質，以及銳角三角函數定義，利用了轉化及分類討論的數學思想，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．