Question

（2009•莆田二模）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過D點作DE⊥AC于E．
（1）試判斷DE是否是⊙O的切線，并說明理由；
（2）若tanB=，DE=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DE是⊙O的切線，只要連接OD，再利用已知條件證∠ODE=90°即可；
（2）根據三角函數求出CD，AC的長，由于AC=AB，即得出了直徑的長度．
解答：解：（1）DE是⊙O的切線．
理由如下：
如圖，連接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）如圖，連接AD，
∵∠B=∠C，tanB=，
∴tanC=，
∴∠C=30°．
在Rt△DEC中
∵sinC=sin30°=，
∴CD=2DE=8，
在Rt△ADC中
∵cosC=cos30°=，
∴，
∴AC=16．
∴直徑AB=16．
點評：本題考查了切線的判定及解直角三角形等知識點的掌握情況．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．