Question

（2009•莆田二模）已知：直角梯形ABCO以O為原點，OC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立坐標系，其中AB=10，OA=40，∠OCB=45°．
（1）求過O、B、C三點的拋物線解析式；
（2）在拋物線BC段上存在一點D，使得△ACD面積最大？若存在，請求出D點坐標，并求最大面積；
（3）動點F從A向B運動速度為1，E從C到O點運動速度為3，幾秒后使得EF平分梯形ABCO的面積，并求出直線EF的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根據已知條件求出B、C的坐標，然后用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）求三角形ACD的面積，無法直接利用D、A、C的坐標來求，那么可過D作DD′⊥x軸交AC的延長線于D′，那么三角形ADC的面積=三角形ADD′的面積-三角形DCD′的面積．可先根據A、C的坐標求出AC所在直線的解析式，然后根據拋物線和一次函數的解析式分別設出D、D′的坐標，然后用x表示出DD′的長，而這兩個三角形的高的差正好就是OC的長，由此可得出關于S、x的函數關系式，可根據得出的函數的性質來求出S的最大面積以及對應的x的值，然后將x代入拋物線中求出D點的坐標．
（3）可先設出時間為t，那么此時可先求出梯形OABC的面積，然后用時間t表示出梯形OEFB的面積，根據梯形OEFB的面積是梯形OABC面積的一半可得出關于t的方程，進而可求出t的值，也就得出了E、F的坐標，然后用待定系數法即可求出E、F所在的直線的解析式．
解答：解：（1）過B作BB′⊥x軸于B′
∴B（10，40）
在Rt△BB’C中

即BB'=B'C=40
∴C（50，0）設y=ax²+bx+c
∴
解得
∴y=-x²+5x

（2）設直線AC解析式為y=kx+b

∴
過D作DD'∥y軸交直線于D'點
設D（x，-x²+5x）則D'（x，-x+40）
則S_△ACD==-x²+145x-1000
∵＜0
∴S_△ACD有最大值
∴當時S_△ACD最大=1102.5
當x=29
時，-x²+5x=60.9
∴此時D（29，60.9）

（3）設時間為t，0≤t≤10
依題意得：
F（t，40）EM（50-30t，0），
=×
即：=×
50-2t=30
t=10
即：F（10，40）E（20，0）時，MN把梯形面積平分．
設EF解析式為y=k₁x+b₁則有：

解得：
∴直線EF解析式為y=-2x+60．
點評：本題結合梯形的知識考查了一次函數及二次函數的應用．用數形結合的思想進行求解是本題的基本思路．