Question

如圖已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，對稱軸為直線x=1，頂點坐標P（1，4）．則下列結論中：
①ac＜0；②2a+b=0；③b＜8；④當m＜4時，方程ax²+bx+c-m=0有兩個不相等的實數根．
正確的結論有

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：由拋物線開口向下得a＜0，由拋物線與y軸的交點在x軸上方得c＞0，則可對①進行判斷；根據拋物線的對稱軸為直線x=-=1可對②進行判斷；由頂點P的坐標為（1，4）得到a+b+c=4，即2a+2b+2c=8，然后把2a=-b代入得到b=8-2c，則可對③進行判斷；根據二次函數的最大值為4，即ax²+bx+c≤4，則當m＜4時，有兩個自變量的值滿足ax²+bx+c=m，
于是可對⑤進行判斷．
解答：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-=1，
∴2a+b=0，所以②正確；
∵拋物線的頂點P的坐標為（1，4），
∴a+b+c=4，即2a+2b+2c=8，
而2a=-b，
∴b=8-2c，
∵c＞0，
∴b＜8，所以③正確；
∵二次函數的最大值為4，即ax²+bx+c≤4，
∴當m＜4時，有兩個自變量的值滿足ax²+bx+c=m，
即方程ax²+bx+c-m=0有兩個不相等的實數根，所以⑤正確．
故選D．
點評：本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），a決定拋物線的開口方向和大小；當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②b和a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時，對稱軸在y軸左側； 當a與b異號時，對稱軸在y軸右側；常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）．