Question

如圖已知二次函數圖象的頂點為原點，直線的圖象與該二次函數的圖象交于A點(8，8)，直線與x軸的交點為C，與y軸的交點為B．

（1）求這個二次函數的解析式與B點坐標；

（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于D點，與x軸交于點E．設線段PD的長為h，點P的橫坐標為t，求h與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點P，使得以點P、D、B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），（0，4）；（2）（0＜t＜8）；

（3）（，）或（2，5）．

【解析】

試題分析：（1）先設二次函數的解析式為，把A點（8，8）代入即可求出這個二次函數的解析式，根據直線y軸的交點橫坐標為0即可求出B點坐標；

（2）設P點在上且橫坐標為t，得出P點的坐標為（t，），根據PD⊥x軸于E，用t表示出D和E的坐標，再根據PD=h，求出，最后根據P與AB不重合且在AB上，得出t的取值范圍；

（3）先過點B作BF⊥PD于F，得出，BF=t，再根據勾股定理得出PB和BC的值，再假設△PBO∽△BOC，得出，即可求出t₁和t₂的值，從而求出P點的坐標.

（1）設二次函數的解析式為，

∵A點（8，8）在二次函數上，

∴，解得

∴

∵直線與y軸的交點為B，

∴B點坐標為（0，4）．

（2）P點在上且橫坐標為t，

∴P（t，），

∵PD⊥x軸于E，

∴D（t，），E（t，0），

∵PD=h，

∴

∵P與AB不重合且在AB上，

∴0＜t＜8．

（3）存在，

當BD⊥PE時，△PBD∽△BCO，

∵

∴

∴

∴

解得，（舍去）

∴P點的縱坐標是

此時P點的坐標是（，）

當DB⊥PC時，

△PBD∽△BCO，

過點B作BF⊥PD，

則F（t，4），

∴，BF=t，

根據勾股定理得

假設△PBO∽△BOC，

則有

解得，（舍去）

∴

此時P點的坐標是（2，5）．

考點：二次函數的綜合題

點評：在解題時要能靈運用二次函數的圖象和性質求出二次函數的解析式，利用數形結合思想解題是本題的關鍵．