Question

（2013•橋東區二模）如圖已知二次函數l：y=x²-4x+3交x軸于A、B兩點（點A在B點的左邊），交y軸于點C
①二次函數的頂點坐標為（2，-1）
②二次函數l₁與x軸交點坐標為A（1，0），B（3，0）
③二次函數l₂：y=kx²-4kx+3k（k≠0）與二次函數l₁的對稱軸和開口方向相同
④若直線y=8kx（k≠0）與拋物線l₂交于E、F兩點，則線段k的長度不變
以上說法正確的是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：拋物線y=ax²+bx+c中：a的值決定了拋物線的開口方向，a＞0時，拋物線的開口向上；a＜0時，拋物線的開口向下．
拋物線的對稱軸方程：x=-

b

2a

；頂點坐標：（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．
新函數是由原函數的各項系數同時乘以k所得，因此從二次函數的圖象與解析式的系數的關系入手進行分析．
聯系直線和拋物線L₂的解析式，先求出點E、F的坐標，進而可表示出EF的長，若該長度為定值，則線段EF的長不會發生變化．

解答：解：①拋物線y=x²-4x+3中，a=1、b=-4、c=3；
∴-

b

2a

=-

-4

2

=2，

4ac-b2

4a

=

4×3-16

4

=-1；
∴二次函數L₁的開口向上，對稱軸是直線x=2，頂點坐標（2，-1）．

②令y=x²-4x+3=0
解得：x=1或x=3
∴與x軸的交點坐標為（1，0），（3，0）；

③二次函數L₂與L₁圖象的開口大小相同，但開口方向不一定相同；

④線段EF的長度不會發生變化．
∵直線y=8k與拋物線L₂交于E、F兩點，
∴kx²-4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x²-4x+3=8，
解得：x₁=-1，x₂=5，∴EF=x₂-x₁=6，
∴線段EF的長度不會發生變化．
故選C．

點評：該題主要考查的是函數的基礎知識，有：二次函數的性質、函數圖象交點坐標的解法等，難度不大，但需要熟練掌握．