Question

如圖,頂點為A的拋物線y=a（x+2）²﹣4交x軸于點B（1,0）,連接AB,過原點O作射線OM∥AB，過點A作AD∥x軸交OM于點D,點C為拋物線與x軸的另一個交點,連接CD．

（1）求拋物線的解析式,直線AB的解析式；

（2）若動點P從點O出發,以每秒1個單位長度的速度沿線段OD向點D運動,同時動點Q從點C出發,以每秒2個單位長度的速度沿線段CO向點O運動,當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動.

問題一：當t為何值時,△OPQ為等腰三角形？

問題二：當t為何值時,四邊形CDPQ的面積最小？并求此時PQ的長．

Answer 1

解：（1）由頂點為A的拋物線y=a（x+2）²﹣4交x軸于點B（1，0）可得：

0=a（1+2）²﹣4，解得：a=，∴拋物線的解析式：，頂點A（﹣2，﹣4），

設直線AB：y=bx+k，帶入點A，B兩點坐標得：，解得：，

∴直線AB的解析式：y=，

（2）如圖：

∵OD∥AB，所以得直線OD：y=，

∵AD∥x軸，解得點D（﹣3，﹣4），

解得OD=5，tan∠COD=，sin∠COD=，cos∠COD=，

把y=0帶入拋物線解析式得：0=，

解得：x=1，或x=﹣5，所以點C（﹣5，0），∴OC=5，

由2t≤5，得t≤2.5，OP=t，OQ=5﹣2t，

當OP=OQ時，有：t=5﹣2t，解得t=，

當OQ=QP時，有：t=2（5﹣2t）×，解得t=，

當QP=OP時，有：5﹣2t=2t×，解得t=，

綜上所述，當t為，，時，△OPQ為等腰三角形；

四邊形CDPQ的面積=S_△QCD﹣S_△OQP=×5×4﹣×（5﹣2t）×t×=，

所以當t==時，四邊形CDPQ的面積有最小值，

此時，OQ=，OP=，sin∠COD=，cos∠COD=，可求得PQ=．