Question

如圖，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA、OB相交于點C、D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：先過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，構造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，這兩個三角形已具備兩個條件：90°的角以及PE=PF，只需再證∠EPC=∠FPD，根據已知，兩個角都等于90°減去∠CPF，那么三角形全等就可證．
解答：解：PC與PD相等．理由如下：
過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F．
∵OM平分∠AOB，點P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）
又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴四邊形OEPF為矩形，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPC+∠CPF=90°，
又∵∠CPD=90°，
∴∠CPF+∠FPD=90°，
∴∠EPC=∠FPD=90°-∠CPF．
在△PCE與△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC=PD．
點評：本題考查了角平分線的性質，以及四邊形的內角和是360°、還有三角形全等的判定和性質等知識．正確作出輔助線是解答本題的關鍵．