Question

畫圖、證明：如圖，∠AOB=90°，點(diǎn)C、D分別在OA、OB上．
（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作∠AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF，分別與CD、OP相交于E、F；連接CF、DF．
（2）在所畫圖中，求證：△CDF為等腰直角三角形．

Answer 1

分析：（1）以點(diǎn)D為圓心，以任意長為半徑畫弧分別與OA、OB相交，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于它們

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長度為半徑畫弧，兩弧相交于一點(diǎn)，過這一點(diǎn)作射線OP即可；分別以C、D為圓心，以大于

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CD長為半徑畫弧，在CD的兩邊畫弧相交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線EF即可；
（2）過點(diǎn)F作FM⊥OA于M，F(xiàn)N⊥OB于N，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得CF=DF，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得FM=FN，然后利用“HL”證明△CFM和△DFN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CFM=∠DFN，再求出∠CFD=90°，根據(jù)等腰直角三角形的判定證明即可．

解答：（1）解：∠AOB的平分線OP；線段CD的垂直平分線EF如圖所示；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)F作DM⊥OA于M，F(xiàn)N⊥OB于N，
∵EF垂直平分CD，
∴CF=DF，
∵OP是∠AOB的平分線，
∴FM=FN，
在△CFM和△DFN中，

CF=DF FM=FN

，
∴△CFM≌△DFN（HL），
∴∠CFM=∠DFN，
又∵∠AOB=90°，F(xiàn)M⊥OA，F(xiàn)N⊥OB，
∴∠CFD=∠MFN=360°-3×90°=90°，
∴△CDF為等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)雜作圖，主要利用了角的平分線的作法，線段垂直平分線的作法，線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．