Question

（2007•鎮江）畫圖、證明：如圖，∠AOB=90°，點C、D分別在OA、OB上．
（1）尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作∠AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF，分別與CD、OP相交于E、F；連接OE、CF、DF．
（2）在所畫圖中，
①線段OE與CD之間有怎樣的數量關系：______．
②求證：△CDF為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，作∠AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF；
（2）①由題意，OE是直角三角形斜邊上的中線，根據直角三角形的性質直接得到OE=CD；
②△CDF為等腰直角三角形，由EF是垂直平分線容易得到△CDF是等腰三角形，要證明直角三角形比較麻煩，要充分利用△ODE，△OEC是等腰三角形的等角的作用，還有三角形外角的有關結論才能證明．
解答：解：（1）根據題意要求：畫∠AOB的平分線OP，作線段CD的垂直平分線EF；

（2）①OE=CD．（4分）
②方法一：∵EF是線段CD的垂直平分線，
∴FC=FD，（5）
∵△COD為直角三角形，E為CD的中點，
∴OE=CE=CD，
∴∠COE=∠ECO．
設CD與OP相交于點G，
∵∠EOF=45°-∠COE，
∠EFO=90°-∠EGF=90°-（45°+∠ECO）=45°-∠ECO，
∴∠EOF=∠EFO，EF=OE．（6分）
又CE=OE=EF，∠CEF=90°，
∴∠CFE=45°，同理∠DFE=45°；
∴∠CFD=90°，△CDF為等腰直角三角形．（7分）

方法二：過點F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分別為M、N．（5分）
∵OP是∠AOB的平分線，
∴FM=FN．
又EF是CD的垂直平分線，
∴FC=FD．
∴Rt△CFM≌Rt△DFN（HL），∠CFM=∠DFN．（6分）
在四邊形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°，
∴∠CFD=∠CFM+∠MFD=∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°，
∴△CDF為等腰直角三角形．（7分）
點評：此題考查等腰三角形的基本性質及判定定理，利用三角形的角平分線和垂直平分線及底邊高三線合一是解題的關鍵，還要利用三角形外角的關系結論．