Question

順次連接任意四邊形ABCD各邊中點，所得的四邊形EFGH是中點四邊形．下列四個敘述：①中點四邊形EFGH一定是平行四邊形；②當四邊形ABCD是矩形時，中點四邊形EFGH也是矩形；③當中點四邊形EFGH是菱形時，四邊形ABCD是矩形；④當四邊形ABCD是正方形時，中點四邊形EFGH也是正方形．其中正確的是

 

（只填代號）．

Answer 1

分析：此題應用三角形中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”，根據平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可．

解答：解：連接AC，BD，
∵E，F，G，H分別是四邊形各邊的中點，
∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥GH，EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；（①正確）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，
∴EF=EH，
∴四邊形EFGH是菱形；（②錯誤）
∵四邊形EFGH是菱形，
∴AC⊥BD，
∴四邊形ABCD不一定是矩形；（③錯誤）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴四邊形EFGH是正方形．（④正確）
∴正確的是①④．
故答案為：①④．

點評：此題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定與正方形的判定．解題時注意中點四邊形的判定：一般中點四邊形是平行四邊形；如果對角線相等，則得到的中點四邊形是菱形，如果對角線互相垂直，則得到的中點四邊形是矩形，如果對角線相等且互相垂直，則得到的中點四邊形是正方形．