Question

【題目】如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，點E、F分別為AC、BC的中點．

（1）求證：四邊形EFCD是菱形；

（2）如果AB=8，求D、F兩點間的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）由△ABC是等邊三角形，點E、F分別為AC、BC的中點可證得：EF=EC=FC；由△DEC是等邊三角形可得：DE=DC=EC，從而可得EF=FC=CD=DE，由此可得：四邊形EFCD是菱形；

（2）連接DF交AC于點G，由已知易證EF=EC=4，再由菱形的對角線互相垂直平分，可得EG=2，再由勾股定理可得：FG=，從而可得DF=.

試題解析：

（1）∵△ABC與△CDE都是等邊三角形

∴AB=AC=BC，ED=DC=EC

∵點E、F分別為AC、BC的中點

∴EF=AB，EC=AC，FC=BC

∴EF=EC=FC

∴EF=FC=ED=DC，

∴四邊形EFCD是菱形．

（2）連接DF，與EC相交于點G，

∵四邊形EFCD是菱形，

∴DF⊥EC，垂足為G ，EG=EC，

∴∴∠EGF=90°，

又∵AB=8， EF=AB，EC=AC，

∴EF=4，EC=4，EG=2，

∴GF=，

∴DF=2GF=.