Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C。

（1）求點A、B的坐標；

（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；

（3）若直線l過點E（4，0），M為直線l上一動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l解析式。

 

Answer 1

解：（1）令y=0，則，解得，

        ∴A（-4，0），B（2，0）      

（2）∵拋物線的對稱軸為x＝－1，與y軸交點C的坐標為（0，3）

     ∴直線AC的解析式為，且當x＝－1時，有

     ∴直線AC與對稱軸x＝－1的交點坐標為（－1，）

     ∵AB＝6，CO＝3

     ∴△ACB的面積為：＝9   

     不妨設點D的坐標為（－1，a），當點D位于AC上方時，，

∴△ACD的面積為：＝9；解方程得：

當點D位于AC下方時，，

∴△ACD的面積為：＝9；解方程得：-

∴點D的坐標為或     

（3）如下圖，以AB為直徑作⊙P，當且僅當直線l與⊙P相切時符合題意，

∵Rt△PME中，∠PME＝90°，PM＝3，PE＝5，

∴由勾股定理可得：=4；利用三角形相似可以求得點M的坐標    

設直線l的解析式為：，代入、E（4，0）可得方程組

；解方程組得：

∴直線l的解析式為：      

同理可得：直線l的另一個解析式為：