Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ＝90°． 

（1）求ED、EC的長； 

（2）若BP＝2，求CQ的長； 

（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長． 

Answer 1

 （1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5

，所以．（2分）

（2）如圖2，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．  由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．

因此△PDM∽△QDN．所以

   

①如圖3，當BP＝2，P在BM上時，PM＝1．

此時  所以

 ②如圖4，當BP＝2，P在MB的延長線上時，PM＝5．

此時     （4分）

（3）如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．

在Rt△ABC中， ．所以∠QPD＝∠C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ．  當△PDF是等腰三角形時，△CDQ也是等腰三角形．  ①如圖5，當CQ＝CD＝5時，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如圖3所示）．

此時

．所以BP=BM-PM=． ②如圖6，當QC＝QD

時，由cosC= ,

所以QN＝CN－CQ=（如圖2所示） ．

此時．所以．  ③不存在DP＝DF的情況．這是因為∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如圖5，圖6所示）．（6分）