Question

如圖，菱形ABCD，點E在CD上，DE=，將△ADE沿AE折疊，點D的對應點F落在BC的延長線上，AF的垂直平分線交AE于點G，若tan∠GBF=，則△ACF的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先過點A作AH⊥BC于H，過點E作EM⊥AD于M，得出tan∠ADE=tan∠ABC=，進而求出EM=，DM=，再利用AD=AM+DM求出a的值，進而得出FC，AH即可求出△ACF的面積．
解答：解：過點A作AH⊥BC于H，過點E作EM⊥AD于M，
∵將△ADE沿AE折疊，點D的對應點F落在BC的延長線上，AF的垂直平分線交AE于點G，
∴可得G在BD上，
∵菱形ABCD中，BD⊥AC，
∴∠CAH=∠GBF，
設CH=a，則AH=3a，
∵AB²=BH²+AH²，
∴AB²=（AB-a）²+（3a）²，
解得AB=5a，
∴AB=BC=5a，BH=4a，
∴tan∠ADE=tan∠ABC=，
∵DE=，
∴EM=，DM=，
∵將△ADE沿AE折疊，點D的對應點F落在BC的延長線上，
∴∠DAE=∠GAF，
∴AM=3EM=，
∴AD=AM+DM=5，
∴a=1，
又∵AF=AD=AB，AH⊥BF，
∴CF=3a=3，AH=3a=3，
∴S_△AFC=×FC×AH=．
故答案為：．
點評：本題考查了菱形的性質，以及勾股定理，折疊的性質，正確求得CH的長度是關鍵．