Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AB于點E，交CA的延長線于點F．

（1）求證：EF⊥AB；

（2）若∠C=30°，EF=，求EB的長．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，AD，只要證明OD是△ABC中位線即可解決問題．

（2）首先證明AE是△ODF中位線，在Rt△AEF中求出AE，再求出OD，根據AB=2OD，求出AB即可問題．

試題解析：（1）連接OD，AD，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°．

又∵AB=AC，

∴CD=DB．又CO=AO，

∴OD∥AB．

∵FD是⊙O的切線，

∴OD⊥DF．∴FE⊥AB．

（2）∵∠C=30°，

∴∠AOD=60°，

在Rt△ODF中，∠ODF=90°，

∴∠F=30°，

∴OA=OD=OF，

在Rt△AEF中，∠AEF=90°，∠F=30°

∵EF=，

∴AE=EFtan30°=．

∵OD∥AB，OA=OC=AF，

∴OD=2AE=，AB=2OD=，

∴EB=．