Question

20．已知菱形ABCD的邊長為1．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC，CB于點E，F(xiàn)．
（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點P．
①猜想驗證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②拓展運用：如圖3，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷$\frac{1}{DM}+\frac{1}{DN}$是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先分別連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點，即可證得0E=OF=OA，則可得點O即為△AEF的外心；
（2）①首先分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度數(shù)，又由點P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上．
②當AE⊥DC時．△AEF面積最小，此時點E、F分別為DC、CB中點．連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可$\frac{1}{DM}+\frac{1}{DN}$為定值2．

解答 （1）證明：如圖①，分別連接OE、0F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又∵E、F分別為DC、CB中點，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD，OF=$\frac{1}{2}$BC，AO=$\frac{1}{2}$AD，
∴0E=OF=OA，
∴點O即為△AEF的外心；

（2）解：①猜想：外心P一定落在直線DB上．
證明：如圖②，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵點P是等邊△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上；
②$\frac{1}{DM}+\frac{1}{DN}$為定值2，
當AE⊥DC時．△AEF面積最小，
此時點E、F分別為DC、CB中點．
連接BD、AC交于點P，由（1）
可得點P在BD上，即為△AEF的外心，
如圖③．設MN交BC于點G，
設DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），則CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴△GBP≌△MDP，
∴BG=DM=x，
∴CG=1-x，
∵BC∥DA，
∴△NCG∽△NDM，
∴$\frac{CN}{DN}=\frac{CG}{DM}$，
∴$\frac{y-1}{y}$=$\frac{1-x}{x}$，
∴x+y=2xy，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=2，
即$\frac{1}{DM}+\frac{1}{DN}$=2．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的外心的判定與性質，以及菱形的性質等知識．此題綜合性很強，圖形也比較復雜，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結合思想的應用．