Question

【題目】已知，點M為二次函數(shù)y＝x2+2bx+3c圖象的頂點，一次函數(shù)y＝kx﹣3（k＞0）分別交x軸，y軸于點A，B．

（1）若b＝1，c＝1，判斷頂點M是否在直線y＝2x+1上，并說明理由；

（2）若該二次函數(shù)圖象經過點C（1，﹣4），也經過點A，B，且滿足kx﹣3＜x2+2bx+3c，求該一次函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（3）設點P坐標為（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+2bx+3c上，當﹣2≤m≤2時，b﹣24≤n≤2b+4，試問：當b≥2或b≤﹣2時，對于該二次函數(shù)中任意的自變量x，函數(shù)值y是否始終大于﹣40？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）M不在直線y＝2x+1上，見解析；（2）y＝x2﹣2x﹣3，x＞3或x＜0；（3）當b≥2或b≤﹣2時，對于該二次函數(shù)中任意的自變量x，函數(shù)值y始終大于﹣40

【解析】

(1)b＝1,c＝1時,y＝x2+2x+3,求出M(﹣1,2),將點M(﹣1,2)代入y＝2x+1驗證是否滿足即可；

(2)由題可知B(0,﹣3),C(1,﹣4),代入y＝x2+2bx+3c得到b＝﹣1,c＝﹣1,求出A(,0),再將點A代入二次函數(shù)解析式得到﹣﹣3＝0,求得k＝1；

(3)函數(shù)對稱軸為x＝﹣b,①當﹣b≤﹣2時,即b≥2,此時b﹣24＝4﹣4b+3c,則5b﹣3c＝28,2b+4＝4+4b+3c,則2b+3c＝0,求得y＝x2+8x﹣8＝(x+4)2﹣24≥﹣24＞﹣40；②當﹣b≥2時,即b≤﹣2,此時b﹣24＝4+4b+3c,則3b+3c＝﹣28,2b+4＝4﹣4b+3c,則6b﹣3c＝0,求得y＝x2﹣x﹣＝(x﹣)2﹣≥﹣＞﹣40．

解：(1)b＝1,c＝1時,y＝x2+2x+3=(x+1)2+2,

∴M(﹣1,2),

將點M(﹣1,2)代入y＝2x+1,則﹣1≠2,

∴M不在在直線y＝2x+1上；

(2)∵B過一次函數(shù)y=kx-3且交于y軸,令x=0,解得y=-3,故B(0,-3).

∵B(0,﹣3),C(1,﹣4),過二次函數(shù)y＝x2+2bx+3c.

代入得到:,解得:b＝﹣1,c＝﹣1,

∴y＝x2﹣2x﹣3,

∵A過y=kx-3并交x軸,令y=0,解得x=,故A(,0),

∴﹣﹣3＝0,

∴k＝1或k＝﹣3,

∵k＞0,

∴k＝1,

∴y＝x﹣3,

∵x﹣3＜x2﹣2x﹣3,

∴x＞3或x＜0；

(3)函數(shù)對稱軸為x＝﹣b,

①當﹣b≤﹣2時,即b≥2,

此時b﹣24＝4﹣4b+3c,則5b﹣3c＝28,

2b+4＝4+4b+3c,則2b+3c＝0,

∴b＝4,c＝﹣,

∴y＝x2+8x﹣8＝(x+4)2﹣24≥﹣24＞﹣40；

②當﹣b≥2時,即b≤﹣2,此時

b﹣24＝4+4b+3c,則3b+3c＝﹣28,

2b+4＝4﹣4b+3c,則6b﹣3c＝0,

∴b＝﹣,c＝﹣,

∴y＝x2﹣x﹣＝(x﹣)2﹣≥﹣＞﹣40；

∴當b≥2或b≤﹣2時,對于該二次函數(shù)中任意的自變量x,函數(shù)值y始終大于﹣40．