Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+5x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線y＝x﹣4經(jīng)過點(diǎn)B，C．P是直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，直線PC交x軸于D．

(1)直接寫出a，c的值；

(2)當(dāng)△PBD的面積等于△BDC面積的一半時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)∠PBA＝∠CBP時，直接寫出直線BP的解析式．

Answer 1

【答案】(1)a的值為﹣1，c的值為﹣4；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，﹣2)、(2，2)或(3，2)；(3)y＝﹣x+4或y＝x+﹣2．

【解析】

(1)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出a，c的值；

(2)利用三角形的面積公式結(jié)合S△PBD＝S△BDC可得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為±2，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線BP的解析式為y＝mx+n(m≠0)，延長BP交y軸于點(diǎn)E，分點(diǎn)P在x軸上方及點(diǎn)P在x軸下方兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BP的解析式；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，利用角與角之間的關(guān)系可得出∠CBE＝30°，設(shè)OE＝t，通過解直角三角形可求出BM，CM的值，結(jié)合BM+CM＝BC＝4可得出關(guān)于t的方程，解之即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BP的解析式．綜上，此題得解．

解：(1)當(dāng)x＝0時，y＝x﹣4＝﹣4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，﹣4)；

當(dāng)y＝0時，x﹣4＝0，

解得：x＝4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)．

將B(4，0)，C(0，﹣4)代入y＝ax2+5x+c，得：

，解得：，

∴a的值為﹣1，c的值為﹣4．

(2)∵△PBC和△BCD有相同的底邊BD，S△PBD＝S△BDC，

∴|yP|＝﹣yC＝2．

當(dāng)y＝﹣2時，﹣x2+5x﹣4＝﹣2，

解得：x1＝，x2＝(舍去)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，﹣2)；

當(dāng)y＝2時，﹣x2+5x﹣4＝2，

解得：x1＝2，x2＝3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)或(3，2)．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，﹣2)、(2，2)或(3，2)．

(3)設(shè)直線BP的解析式為y＝mx+n(m≠0)，延長BP交y軸于點(diǎn)E，分兩種情況考慮：

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，如圖1所述．

∵∠PBA＝∠CBP，

∴∠EBO＝∠CBO，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，4)．

將B(4，0)，E(0，4)代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直線BP的解析式為y＝﹣x+4；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，如圖2所述．

∵OB＝OC＝4，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝4．

∵∠PBA＝∠CBP，

∴∠CBP＝∠OBC＝30°，即∠CBE＝30°．

設(shè)OE＝t，則BE＝＝．

在Rt△BEM中，BM＝BEcos30°＝，EM＝BEsin30°＝．

在Rt△CEM中，CM＝＝

∵BM+CM＝BC，即+＝4，

∴t＝2﹣，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，﹣2)．

∴直線BP的解析式為y＝x+﹣2．

綜上所述：直線BP的解析式為y＝﹣x+4或y＝x+﹣2．