Question

已知△ABC各頂點的直角坐標分別為A（3，4），B（0，0），C（c，0）．
（1）若c=5，求sinA的值；
（2）若∠A是鈍角，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖知，AD=4，BD=3，CD=2，在Rt△ABD中，用勾股定理可求AB=5，同理，可求AC，那么在Rt△ACE中，sinA=

CE

AC

=

4

2 5

=

2 5

5

；
（2）先過A作AC′⊥AB交x軸于C′，設C′的坐標為（c，0），CE⊥AB，AC′⊥AB，那么有∠C′AB=∠ADB=90°，于是Rt△ABD∽Rt△C′BA，利用比例線段可求BC′，BC′=

25

3

，那么c＞

25

3

，∠BAC′為鈍角．

解答：解：（1）根據已知作出示意圖．
過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥AB于E，則AD=4，BD=3，CD=2，
于是AB=5，AC=

AD2+CD2

=

42+22

=2

5

．
∵S_△AOC=

1

2

AB•CE=

1

2

BC•AD，
∴CE=

BC•AD

AB

=

5×4

5

=4．
因此sinA=

CE

AC

=

4

2 5

=

2 5

5

．

（2）過A作AC′⊥AB交x軸于C′，設C′的坐標為（c，0）．
∵AD⊥BC，AC′⊥AB，
∴∠C′AB=∠ADB=90°．
又∵∠B=∠B，
∴Rt△ABD∽Rt△C′BA．
∴

BC′

AB

=

AB

BD

，
∴BC′=

AB2

BD

=

5×5

3

=

25

3

．
故當∠A是鈍角時，c的取值范圍是c＞

25

3

．

點評：本題利用了勾股定理、三角形面積公式，相似三角形的判定和性質．