Question

某園藝公司計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測種植花卉的利潤y₁（萬元）與投入資金x（萬元）成正比列關(guān)系，如圖1所示；種植樹木的利潤y₂（萬元）與投入資金x（萬元）成二次函數(shù)關(guān)系，如圖2所示．
（1）分別求出利潤y₁（萬元）與y₂（萬元）關(guān)于投入資金x（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果該園藝公司以8萬元資金投入種植花卉和樹木，公司至少能獲得多少利潤？

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)總利潤=樹木利潤+花卉利潤，列出函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)的最值．

解答：解：（1）由圖象知y₁=kx，y₂=ax²，
∵y₁=kx經(jīng)過（1，2），y₂=ax²經(jīng)過（2，2）
∴2=1k，解得：k=2，
2=2²a，解得：a=

1

2

即y₁=2x，y2=

1

2

x2；

（2）設(shè)公司投入種植花卉資金x萬元，則投入種植樹木資金（8-x）萬元．
∴公司獲得總利潤為y=

1

2

(8-x)2+2x=

1

2

(x-6)2+14（0≤x≤8），
公司至少能獲得14萬元利潤．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，第（1）個問題是已知一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式，觀察兩個函數(shù)的圖象可知，前者是正比例函數(shù)，后者是二次函數(shù)，頂點是（0，0），利用待定系數(shù)法，先設(shè)兩個函數(shù)的解析式，再將P（1，2），Q（2，2）代入相應(yīng)的解析式求出參數(shù)即可；第（2）個問題是已知自變量的取值范圍求二次函數(shù)的最值，屬于二次函數(shù)的條件最值問題．這類試題一般先將函數(shù)解析式配方，將函數(shù)解析式變成頂點形式，找出頂點坐標和對稱軸方程，結(jié)合自變量的取值范圍，畫出函數(shù)圖象（拋物線的一部分），根據(jù)拋物線的對稱性、開口方向，確定函數(shù)的最大（或最小）值，不宜直接用最值公式，這種解題方法體現(xiàn)了數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合的思想，它的優(yōu)點是直觀形象，避免死記公式．