Question

【題目】如圖，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點D是BC延長線上一點，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的邊ND上的中線．

(1)求證：AB=DN；

(2)試判斷CP與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

(3)若PC＝5，CD＝8，求線段MN的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)CP是⊙O的切線，證明見解析.(3).

【解析】

(1)由 AB為⊙O的直徑，∠ACB=90°=∠NCD ，再根據角的等量替換得出∠A =∠D

再根據AC=CD，可得△ABC≌△DNC，即可得到AB=DN ；（2）連結OC，根據直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，得到PC=PN=，再得到∠ACO＋∠PCN =90°，故∠PCO =90°，即可證明；（3）先得到DN=2PC=10，再利用勾股定理計算出CN=6，由AC=CD=8得到AN-AC-CN=2，再利用sinA=，即可求出MN的長度.

解：(1)證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°=∠NCD

∵DM⊥AB，

∴∠AMN=90°，

∴∠ABC＋∠A =∠ABC＋∠D =90°

∴∠A =∠D

又∵AC=CD，∠ACB=∠NCD

∴△ABC≌△DNC

∴AB=DN

(2)CP是⊙O的切線．

證明：連結OC

∵CP是△CDN的邊ND上的中線，∠NCD=90°

∴PC=PN=

∴∠PCN =∠PNC

∵∠ANM=∠PNC

∴∠ANM=∠PCN

∵OA=OC

∴∠A=∠ACO

∵∠A＋∠ANM =90°

∴∠ACO＋∠PCN =90°

∴∠PCO =90°

∴CP是⊙O的切線

(3)∵PC＝5

∴DN=2PC=10

∵△ABC≌△DNC

∴CN=CB，AC=CD=8，AB=DN=10

∴

∴AN=AC-CN=2

∵sinA=

∴

∴