Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，點F在BC延長線上，且CF=BE，連接AC，DF，

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）若∠ACD=90°，CF=3，DF=4，求AD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得AD＝BC，AD∥BC，再由CF＝BE證得AD＝EF，進而可證矩形；

（2）先由CF＝3，DF＝4求得DC＝5，再利用△ACD∽△DFC即可求得AD的長．

（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵CF＝BE，

∴CF＋CE＝BE＋CE，

即：BC＝EF，

∴AD＝EF，

又∵AD∥BC，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴平行四邊形AEFD為矩形；

（2）解：∵在矩形AEFD中，

∴∠F＝90°，

∵CF＝3，DF＝4，

∴在Rt△CDF中，CD＝，

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCF，

又∵∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠F，

∴△ACD∽△DFC

∴

∴

∴AD＝