Question

【題目】已知:如圖①，將的菱形沿對角線剪開，將沿射線方向平移，得到點為邊上一點（點不與點、點重合），將射線繞點逆時針旋轉，與的延長線交于點，連接．

①求證:；

②探究的形狀；

如圖②，若菱形變為正方形，將射線繞點逆時針旋轉，原題其他條件不變，中的①和②兩個結論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請寫出變化后的結論并證明．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②△是等邊三角形，理由見解析；（2）①∠=∠成立，理由見解析；②不成立，△是等腰直角三角形，理由見解析．

【解析】

（1）①先由菱形可知四邊相等，再由∠D＝60°得等邊△ADC和等邊△ABC，則對角線AC與四邊都相等，利用ASA證明△ANB≌△AMC，得結論；

②根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出：△AMN是等邊三角形；

（2）①成立，根據正方形得45°角和射線AM繞點A逆時針旋轉45°，證明△ANB∽△AMC，得∠ANB＝∠AMC；

②不成立，△AMN是等腰直角三角形，利用①中的△ANB∽△AMC，得比例式進行變形后，再證明△NAM∽△BAD，則△AMN是等腰直角三角形．

（1）如圖1，①∵四邊形是菱形，

∴，

∵∠60°，

∴△ADC和△ABC是等邊三角形，

∴，∠BAC60°，

∵∠60°，

∴∠=∠，

由△ADC沿射線DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE60°，

∵∠ABC60°，

∴∠ABN60°，

∴∠ABN∠ACB60°

∴△≌△，

∴∠=∠；

②如圖1，△是等邊三角形，理由是：

由△≌△，

∴AMAN，

∵∠60°，

∴△是等邊三角形；

（2）①如圖2，∠=∠成立，理由是：

在正方形ABCD中，

∴∠BAC∠DAC=∠BCA45°，

∵∠NAM45°，

∴∠=∠，

由平移得：∠EBC∠CAD45°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABN180°90°45°45°，

∴∠ABN∠ACM45°，

∴△∽△，

∴∠=∠；

②如圖2，不成立，

△是等腰直角三角形，理由是：

∵△∽△，

∴，

∴，

∵∠=∠=45°，

∴△∽△，

∴∠=∠=90°，

∴△是等腰直角三角形.