Question

13．如圖，點O為 Rt△ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的半徑為2，∠B=30°，求圖中陰影部分面積（結果保留π）．

Answer 1

分析 （1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易證得AC∥OD，繼而證得AD平分∠CAB．
（2）如圖，連接ED，根據（1）中AC∥OD和菱形的判定與性質得到四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，則圖中陰影部分的面積=扇形EOD的面積．

解答 解：
（1）證明：∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；

（2）設EO與AD交于點M，連接ED．
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵OA=OE，
∴△AEO是等邊三角形，
∴AE=OA，∠AOE=60°，
∴AE=AO=OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，
∴S_△AEM=S_△DMO，
∴S_陰影=S_扇形EOD=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

點評 此題考查了切線的性質、扇形面積公式的運用、等腰三角形的性質以及等邊三角形的判定和性質，熟記和圓有關的各種性質是解題的關鍵．