Question

如圖，已知A點坐標為（6，0），B點坐標為（0，8），⊙A與y軸相切，AB交⊙O于點P，過點P作⊙A的切線交y軸于點C，交x軸于點D．
（1）證明：AD=AB；
（2）求經過A，D，C三點的拋物線的函數關系式；
（3）若點M在第一象限，且在（2）中的拋物線上，求四邊形AMCD面積的最大值及此時點M的坐標．

Answer 1

（1）∵DP切⊙A于P，
∴∠APD=90°
在△ADP和△ABO中，

∠A=∠A AP=AO ∠APD=∠AOB

，
∴△ADP≌△ABO（ASA），
∴AD=AB．

（2）在Rt△AOB中，由AO=6，BO=8，得AB=10．
∵AD=AB，故AD=10，
∴OD=AD-AO=4，
因此D點坐標為（-4，0）
又∵∠CDO=∠ADP，∠COD=∠APD=90°
∴△DCO∽△DAP
∴

CO

DO

=

AP

DP

，
即

CO

4

=

6

8

，CO=3．
∴C點坐標為（0，3）
經過A（6，0），D（-4，0），C（0，3）的拋物線解析式可設為y=a（x-6）（x+4），
將C（0，3）代入得，a=-

1

8

．
所以，所求拋物線的函數關系式為y=-

1

8

（x-6）（x+4）=-

1

8

x²+

1

4

x+3．

（3）設M點坐標為（p，q），-p＞0，q＞0，q=-

1

8

p²+

1

4

p+3，
過M作MN⊥x軸于N，則S_{四邊形AMCD}=S_△COD+S_{四邊形MNOC}+S_△MNA
=

1

2

×4×3+

3+q

2

×p+

1

2

（6-p）×q
=6+

3

2

p+3q=-

3

8

p²+

9

4

p+15=-

3

8

（p-3）²+

147

8

．
∴當p=3時，四邊形AMCD面積最大，最大值為

147

8

．
此時M點坐標為（3，

21

8

）．