Question

農民張大伯為了致富奔小康，大力發展家庭養殖業．他準備用40m長的木欄圍一個矩形的羊圈，為了節約材料同時要使矩形的面積最大，他利用了自家房屋一面長25m的墻，設計了如圖一個矩形的羊圈．
（1）請你求出張大伯矩形羊圈的面積；
（2）請你判斷他的設計方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又該如何設計并說明理由．

Answer 1

分析：（1）木欄只有三面，總長為40，其中長為25，則寬為

15

2

，易求面積；
（2）設長為x，表示出寬和面積，運用函數的性質求出面積最大時的長和寬，然后回答問題．

解答：解：（1）40-25=15故矩形的寬為

15

2

（1分）
∴s_ABCD=

15

2

×25=187.5（2分）

（2）設利用xm的墻作為矩形羊圈的長，則寬為

40-x

2

m，
設矩形的面積為ym²
則y=x•

40-x

2

=-

1

2

x²+20x=-

1

2

（x-20）²+200，（5分）
∵a=-

1

2

＜0，
故當x=20時，y的最大值為200，（7分）
∵200＞187.5，
故張大伯設計不合理，應設計為長20m，寬10m利用20m墻的矩形羊圈．（8分）

點評：此題的關鍵在列出函數表達式，然后運用性質求最值，得出最佳方案．通常要考慮自變量的取值范圍．