Question

如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，AC=12cm，BD=16cm。動點P在線段AB上，由B向A運動，速度為1cm/s，動點Q在線段OD上，由D向O運動，速度為1cm/s。過點Q作直線EF┴BD交AD于E，交CD于F，連接PF，設(shè)運動時間為t（0<t<8）。問

（1）何時四邊形APFD為平行四邊形？求出相應(yīng)t的值；

（2）設(shè)四邊形APFE面積為ycm2，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；.

（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE:S菱形ABCD=17:40？若存在，求出相應(yīng)t的值，并求出，P、E兩點間的距離，若不存在，說明理由。

 

Answer 1

（1） t=s時，四邊形APFD是平行四邊形．（2）y=-t2+t+48．（3） t=4, PE=cm．

【解析】

試題分析：（1））由四邊形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，運用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出．求出DF．由AP=DF．求出t．

（2）過點C作CG⊥AB于點G，由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．據(jù)S梯形APFD=（AP+DF）•CG．S△EFD=EF•QD．得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）過點C作CG⊥AB于點G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，據(jù)線段關(guān)系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB=．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴．

即，

∴DF=．

∵四邊形APFD是平行四邊形，

∴AP=DF．

即10-t=，

解這個方程，得t=．

∴當(dāng)t=s時，四邊形APFD是平行四邊形．

（2）如圖，過點C作CG⊥AB于點G，

∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×12×16，

∴CG=．

∴S梯形APFD=（AP+DF）•CG

=（10-t+t）•

=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴．

即，

∴QF=t．

同理，EQ=t．

∴EF=QF+EQ=t．

∴S△EFD=EF•QD=×t×t=t2．

∴y=（t+48）-t2=-t2+t+48．

（3）如圖，過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，

若S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，

則-t2+t+48=×96，

即5t2-8t-48=0，

解這個方程，得t1=4，t2=-（舍去）

過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，

當(dāng)t=4時，

∵△PBN∽△ABO，

∴，

即．

∴PN=，BN=．

∴EM=EQ-MQ=3-=．

PM=BD-BN-DQ=16--4=．

在Rt△PME中，

PE=（cm）．

考點：四邊形綜合題．