Question

如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．
（1）求證：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結OD，由AB為⊙O的直徑，根據圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，則∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根據切線的性質得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）先根據勾股定理計算出AB=10，由于△DAB為等腰直角三角形，可得到AD==5；由△ACE為等腰直角三角形，得到AE=CE==3，在Rt△AED中利用勾股定理計算出DE=4，則CD=7，易證得∴△PDA∽△PCD，得到===，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可計算出PD．
解答：（1）證明：連結OD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴△DAB為等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵PD為⊙O的切線，
∴OD⊥PD，
∴DP∥AB；

（2）解：在Rt△ACB中，AB==10，
∵△DAB為等腰直角三角形，
∴AD==5，
∵AE⊥CD，
∴△ACE為等腰直角三角形，
∴AE=CE===3，
在Rt△AED中，DE===4，
∴CD=CE+DE=3+4=7，
∵AB∥PD，
∴∠PDA=∠DAB=45°，
∴∠PAD=∠PCD，
而∠DPA=∠CPD，
∴△PDA∽△PCD，
∴===，
∴PA=PD，PC=PD，
而PC=PA+AC，
∴PD+6=PD，
∴PD=．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理定理、等腰直角三角形的性質和三角形相似的判定與性質．