Question

設p，q均為自然數，且

p

q

=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+

1

5

-…-

1

18

+

1

19

，求證：29|p．

Answer 1

分析：此題的關鍵是把已知條件進行變形，變成（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

19

）-2（

1

2

+

1

4

+…+

1

18

），再進行分解，利用質數的定義得出．

解答：證明：注意到29是質數．令a=10×11××19．

p

q

=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+

1

5

-…-

1

18

+

1

19

，
=（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

19

）-2（

1

2

+

1

4

+…+

1

18

），
=（

1

2

+

1

3

+…+

1

19

）-（1+

1

2

+…+

1

9

），
=

1

10

+

1

11

+…+

1

19

，
=（

1

10

+

1

19

）+（

1

11

+

1

18

）+…+（

1

14

+

1

15

），
=29（

1

19×10

+

1

11×18

+…+

1

14×15

），
∴ap=29q•b，
其中b=a（

1

10×19

+

1

11×18

+…+

1

14×15

）是整數，
∵29|a•p，29是質數，29|a．
∴29|p．

點評：此題主要考查了數的整除性的性質，做題時注意變形的應用，題目難度較大．