Question

已知：拋物線y=x2-mx+

m2

2

與拋物線y=x2+mx-

3

4

m2在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示，其中一條與x軸交于A、B兩點．
（1）試判定哪條拋物線經過A、B兩點，并說明理由；
（2）若A、B兩點到原點的距離AO、OB滿足

1

OB

-

1

OA

=

2

3

，求經過A、B兩點的這條拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）只需令每一條拋物線的解析式等于0，計算每一個方程的判別式△的值，使△＞0的即為所求；
（2）如果設點A（x₁，0），B（x₂，0），則x₁、x₂是方程x²+mx-

3

4

m2=0的兩個實數根，根據一元二次方程根與系數的關系及已知條件

1

OB

-

1

OA

=

2

3

，可求出m的值，進而得到拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線不過原點，
∴m≠0．
令x²-mx+

m2

2

=0，
∴△₁=（-m）²-4×

m2

2

=-m²＜0，與x軸沒有交點．
令x²+mx-

3

4

m2=0，
∵△₂=m²-4（-

3

4

m2）=4m²＞0，
∴拋物線y=x²+mx-

3

4

m2經過A、B兩點；

（2）設點A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁、x₂是方程x²+mx-

3

4

m2=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=-m，x₁•x₂=-

3

4

m2，
∵AO=-x₁，OB=x₂，
∵

1

OB

-

1

AO

=

2

3

，
∴

1

x2

-

1

-x1

=

2

3

，
∴

x1+x2

x1•x2

=

2

3

，
∴

-m

- 3 4 m2

=

2

3

，
解得m=2，經檢驗，m=2是方程的解．
∴所求拋物線的解析式為y=x²+2x-3．

點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的聯系．