Question

已知拋物線C：y=ax²+bx+c（a＜0）過原點，與x軸的另一個交點為B（4，0），A為拋物線C的頂點．
（1）如圖1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；
（2）如圖2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C′，求拋物線C、C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，設A′為拋物線C′的頂點，求拋物線C或C′上使得PB=PA'的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先連接AB，根據A點是拋物線C的頂點，且C交x軸于O、B，得出AO=AB，再根據∠AOB=60°，得出△ABO是等邊三角形，再過A作AE⊥x軸于E，在Rt△OAE中，求出OD、AE的值，即可求出頂點A的坐標，最后設拋物線C的解析式，求出a的值，從而得出拋物線C的解析式；
（2）先過A作AE⊥OB于E，根據題意得出OE=OB=2，再根據直線OA的解析式為y=x，得出AE=OE=2，求出點A的坐標，再將A、B、O的坐標代入y=ax²+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出拋物線C的解析式，再根據拋物線C、C′關于原點對稱，從而得出拋物線C′的解析式；
（3）先作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），由（2）知，拋物線C′的頂點為A′（-2，-2），得出A′B的中點M的坐標，再作MH⊥x軸于H，得出△MHN∽△BHM，則MH²=HN•HB，求出N點的坐標，再根據直線l過點M（1，-1）、N（，0），得出直線l的解析式，求出x的值，再根據拋物線C上存在兩點使得PB=PA'，從而得出P₁，P₂坐標，再根據拋物線C′上也存在兩點使得PB=PA'，得出P₃，P₄的坐標，即可求出答案．
解答：解：（1）連接AB．
∵A點是拋物線C的頂點，且拋物線C交x軸于O、B，
∴AO=AB，
又∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等邊三角形，
過A作AD⊥x軸于D，在Rt△OAD中，
∴OD=2，AD=，
∴頂點A的坐標為（2，）
設拋物線C的解析式為（a≠0），
將O（0，0）的坐標代入，
求得：a=，
∴拋物線C的解析式為．

（2）過A作AE⊥OB于E，
∵拋物線C：y=ax²+bx+c（a＜0）過原點和B（4，0），頂點為A，
∴OE=OB=2，
又∵直線OA的解析式為y=x，
∴AE=OE=2，
∴點A的坐標為（2，2），
將A、B、O的坐標代入y=ax²+bx+c（a＜0）中，
∴a=，
∴拋物線C的解析式為，
又∵拋物線C、C′關于原點對稱，
∴拋物線C′的解析式為；

（3）作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），
由前可知，拋物線C′的頂點為A′（-2，-2），
故A′B的中點M的坐標為（1，-1）．
作MH⊥x軸于H，
∴△MHN∽△BHM，則MH²=HN•HB，即1²=（1-n）（4-1），
∴，即N點的坐標為（，0）．
∵直線l過點M（1，-1）、N（，0），
∴直線l的解析式為y=-3x+2，
，解得．
∴在拋物線C上存在兩點使得PB=PA'，其坐標分別為
P₁（，），P₂（，）；
解得，．
∴在拋物線C′上也存在兩點使得PB=PA'，其坐標分別為
P₃（-5+，17-3），P₄（-5-，17+3）．
∴點P的坐標是：P₁（，），P₂（，），P₃（-5+，17-3），P₄（-5-，17+3）．
點評：本題是二次函數的綜合，其中涉及到的知識點有旋轉的性質，點的坐標，待定系數法求二次函數等知識點，難度較大，綜合性較強．