Question

【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），有點(diǎn)C(﹣2，6)．

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)D(1，﹣3)，點(diǎn)E在線段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延長(zhǎng)ED交y軸于點(diǎn)F，求△EFO的面積．

（3）若M在直線AC上，點(diǎn)Q在拋物線上，是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使以Q，M，N，A為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(4，0)，B(﹣1，0)；（2）；（3）存在，或M(0，4)或M(8，﹣4)

【解析】

（1）令x2﹣3x﹣4＝0求出解即可求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)E（m，0），由△ABC、△ADE的面積可求、 ，因?yàn)楦鶕?jù)相似三角形的性質(zhì)求出m的值，確定E、F點(diǎn)坐標(biāo)即可求；

（3）當(dāng)AC為正方形QAMN邊時(shí)，M點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱；M、N的中點(diǎn)與A、Q中點(diǎn)相同可求M的坐標(biāo)；當(dāng)M、Q關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，M（0，4），此時(shí)Q（0，﹣4）在拋物線上；當(dāng)Q（0，﹣4）時(shí)，M（8，﹣4）．

解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)

∴A（4，0），B（﹣1，0）；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC，過(guò)點(diǎn)作，如圖：

設(shè)E（m，0），

∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），

AC＝ ，AD＝，BC＝

由△ABC的面積可得

∴

由△ADE的面積可得，

∴

∵∠ACB＝∠ADE，

∴

∴

∴

∴2m2﹣41m+57＝0

∴或m＝19

∵點(diǎn)E在線段OA上

∴

∵設(shè)ED的直線解析式為，，

∴

∴

∴ED的直線解析式為

∴當(dāng)時(shí)，

∴

∴

（3）設(shè)的直線解析式為，，

∴

∴

∴直線的解析式為

∵

∴∠CAO＝45°，

設(shè)M（t，﹣t+4），

①當(dāng)M點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，如圖：

∴N（t，t﹣4），

∴M、N的中點(diǎn)為（t，0），

∴A、Q中點(diǎn)也為（t，0），

∴Q（2t﹣4，0），

∵點(diǎn)Q在拋物線上，

∴2t﹣4＝﹣1，

∴

∴

②當(dāng)M、Q關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，M（0，4），此時(shí)Q（0，﹣4）在拋物線上，如圖：

③當(dāng)Q（0，﹣4）時(shí)，M（8，﹣4），如圖：

∴綜上所述：或M（0，4）或M（8，﹣4）．

故答案是：（1）A(4，0)，B(﹣1，0)；（2）；（3）存在，或M(0，4)或M(8，﹣4)