Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，一次函數（為常數，）的圖像與軸、軸分別相交于點，半徑為4的⊙與軸正半軸相交于點，與軸相交于點，點在點上方.

（1）若直線與弧有兩個交點.

①求的度數；

②用含的代數式表示，并直接寫出的取值范圍；

（2）設，在線段上是否存在點，使？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①45°；②，（）；（2）b=5時存在，點P的坐標為，

當b>5時，直線與圓相離，不存在P，理由見解析.

【解析】

（1）連接CD，EA，利用同一條弦所對的圓周角相等求行∠CFE=45°，
（2）作OM⊥AB點M，連接OF，利用兩條直線垂直相交求出交點M的坐標，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根據式子寫出b的范圍，
（3）當b=5時，直線與圓相切，存在點P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出點P的坐標，．

解：（1）①如圖，

∵，

∴，（圓周角定理）

②方法一：

如圖，作于，連接，

∵，直線的函數式為：，

∴所在的直線函數式為：，

∴交點

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵直線與弧有兩個交點，

∴，

∴，（）

方法二：

如圖，作于點，連接，

∵直線的函數式為：，

∴的坐標為，的坐標為，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴在中，，

∵，

∴，

∵直線與弧有兩個交點，

∴，

∴，（）

（2）如圖，

當時，直線與圓相切，

∵在直角坐標系中，，

∴，

∴存在點，使，

連接，

∵是切點，

∴，

∴∽，

∴，

∵，，，

∴，即，

∵，

作交于點，設的坐標為，

∵∽，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點的坐標為，

當時，直線與圓相離，不存在.

故答案為：（1）45°；（2），（）；（3）b=5時存在，點P的坐標為，

當b>5時，直線與圓相離，不存在P，理由見解析.