Question

如圖所示，已知△ABC的內心為I，外心為O．
（1）試找出∠A與∠BOC，∠A與∠BIC的數量關系．
（2）由（1）題的結論寫出∠BOC與∠BIC的關系．

Answer 1

分析：（1）根據一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到∠A與∠BOC的數量關系；根據角平分線的定義以及三角形的內角和定理確定∠A與∠BIC的數量關系．
（2）根據（1）中的數量關系消去∠A即可得到兩角之間的關系．

解答：解：（1）如本題圖，∠A為⊙O中

BC

所對的圓周角，由圓周角定理得∠A=

1

2

∠BOC．
∵I是△ABC的內心，
∴∠IBC=

1

2

∠ABC，∠ICB=

1

2

∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．

（2）由（1）得∠BIC=90°+

1

2

∠A=90°+

1

2

×

1

2

∠BOC=90°+

1

4

∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的關系是∠BIC=90°+

1

4

∠BOC．

點評：此題中可以熟記：當O是外心時，則∠BOC=

1

2

∠A；當I是內心時，則∠BIC=90°+

1

2

∠A．