Question

（2008•南京）如圖，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經過點O，OP=10cm，射線PN與⊙O相切于點Q．A，B兩點同時從點P出發，點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運動．設運動時間為ts．
（1）求PQ的長；
（2）當t為何值時，直線AB與⊙O相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）PN與⊙O相切于點Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根據勾股定理就可以求出PQ的值；
（2）過點O作OC⊥AB，垂足為C．直線AB與⊙O相切，則△PAB∽△POQ，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出t的值．
解答：解：（1）連接OQ，
∵PN與⊙O相切于點Q，
∴OQ⊥PN，
即∠OQP=90°，（2分）
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ==8（cm）．（3分）

（2）過點O作OC⊥AB，垂足為C，
∵點A的運動速度為5cm/s，點B的運動速度為4cm/s，運動時間為ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
∴，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，（4分）
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四邊形OCBQ為矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半徑為6，
∴BQ=OC=6時，直線AB與⊙O相切．
①當AB運動到如圖1所示的位置，
BQ=PQ-PB=8-4t，
∵BQ=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5（s）．（6分）
②當AB運動到如圖2所示的位置，
BQ=PB-PQ=4t-8，
∵BQ=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5（s）．
∴當t為0.5s或3.5s時直線AB與⊙O相切．（8分）
點評：本題主要考查了圓的切線的性質，切線垂直于過切點的半徑．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．