Question

【題目】如圖，拋物線L：y＝﹣（x﹣t）（x﹣t+4）（常數t＞0）與x軸從左到右的交點為B,A,過線段OA的中點M作MP⊥x軸,交雙曲線y= (k>0,x>0)于點P，且OAMP=12，

(1)求k值；

(2)當t=1時，求AB的長，并求直線MP與L對稱軸之間的距離；

(3)把L在直線MP左側部分的圖象(含與直線MP的交點)記為G，用t表示圖象G最高點的坐標；

(4)設L與雙曲線有個交點的橫坐標為x,且滿足4x6，通過L位置隨t變化的過程，直接寫出t的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）6；（2）AB=4，；（3）(, +t)；（4）t=5，5t8，7t8+.

【解析】

（1）設點P（x，y），只要求出xy即可解決問題．

（2）先求出A、B坐標，再求出對稱軸以及點M坐標即可解決問題．

（3）根據對稱軸的位置即可判斷，當對稱軸在直線MP左側，L的頂點就是最高點，當對稱軸在MP右側，L于MP的交點就是最高點．

（4）畫出圖形求出C、D兩點的縱坐標，利用方程即可解決問題．

(1)設點P(x,y)，則MP=y，由OA的中點為M可知OA=2x，代入OAMP=12，

得到2xy=12，即xy=6.

∴k=xy=6.

(2)當t=1時,令y=0,0= (x1)(x+3)，

解得x=1或3，

∵點B在點A左邊，

∴B(3,0),A(1,0).

∴AB=4，

∵L是對稱軸x=1,且M為(,0)，

∴MP與L對稱軸的距離為.

(3)∵A(t,0),B(t4,0)，

∴L的對稱軸為x=t2，

又∵MP為x=，

當t2,即t4時,頂點(t2,2)就是G的最高點。

當t>4時,L與MP的解得(, +t)就是G的最高點.

(4)結論：5t8或78+.

理由：對雙曲線,當4x6時,1y,即L與雙曲線在C(4, ),D(6,1)之間的一段有個交點.

①由= (4t)(4t+4)解得t=5或7.

②由1= (4t)(4t+4)解得t=8和8+.

隨t的逐漸增加,L的位置隨著A(t,0)向右平移，如圖所示，

當t=5時，L右側過過點C.

當t=8<7時,L右側過點D,即5t8.

當8<t<7時，L右側離開了點D，而左側未到達點C，即L與該段無交點，舍棄.

當t=7時,L左側過點C. 當t=8+時,L左側過點D,即7t8+.