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如圖,在⊙O中,弦AB與DC相交于點E,AB=CD.
(1)求證:△AEC≌△DEB;
(2)點B與點C關于直線OE對稱嗎?試說明理由.

【答案】分析:(1)要證△AEC≌△DEB,由于AB=CD,根據等弦所對的弧相等得=,根據等量減等量還是等量,得=,由等弧對等弦得BD=CA,由圓周角定理得,∠ACE=∠DBE,∠AEC=∠DEB,即可根據AAS判定;
(2)由△AEC≌△DEB得,BE=CE,得到點E在直線BC的中垂線上,連接BO,CO,BO和CO是半徑,則BO和CO相等,即點O在線段BC的中垂線上,亦即直線EO是線段BC的中垂線,所以點B與點C關于直線OE對稱.
解答:(1)證明:∵AB=CD,
=
-=-
=
∴BD=CA.
在△AEC與△DEB中,∠ACE=∠DBE,∠AEC=∠DEB,
∴△AEC≌△DEB(AAS).

(2)解:點B與點C關于直線OE對稱.
理由如下:如圖,連接OB、OC、BC.
由(1)得BE=CE.
∴點E在線段BC的中垂線上,
∵BO=CO,
∴點O在線段BC的中垂線上,
∴直線EO是線段BC的中垂線,
∴點B與點C關于直線OE對稱.
點評:本題利用了圓周角定理、等弦所對的弧相等,等弧對等弦、全等三角形的判定和性質求解.
練習冊系列答案
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精英家教網已知:如圖,在⊙O中,弦AD=BC.求證:AB=CD.

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4、如圖,在⊙O中,弦BC∥半徑OA,AC與OB相交于M,∠C=20°,則∠AMB的度數為(  )

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如圖,在⊙M中,弦AB所對的圓心角為120度,已知圓的半徑為2cm,并建立如圖所示的直角坐精英家教網標系.
(1)求圓心M的坐標;
(2)求經過A,B,C三點的拋物線的解析式;
(3)設點P是⊙M上的一個動點,當△PAB為Rt△PAB時,求點P的坐標.

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如圖,在⊙O中,弦AB=BC=CD,且∠ABC=140°,則∠AED=(  )

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如圖,在⊙O中,弦AB與CD相交于點P,連接AC、DB.
(1)求證:△PAC∽△PDB;
(2)當
AC
DB
為何值時,
S△PAC
S△PDB
=4?

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