Question

【題目】平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AD，E、F、G分別是OC、OD，AB的中點．下列結論：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四邊形BEFG是菱形．其中正確的是______．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

試題解析：令GF和AC的交點為點P，如圖

∵E、F分別是OC、OD的中點，

∴EF∥CD，且EF=CD，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，且AB=CD，

∴∠FEG=∠BGE（兩直線平行，內錯角相等），

∵點G為AB的中點，

∴BG=AB=CD=FE，

在△EFG和△GBE中，

，

∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，

∴∠EGF=∠GEB，

∴GF∥BE（內錯角相等，兩直線平行），

∵BD=2BC，點O為平行四邊形對角線交點，

∴BO=BD=BC，

∵E為OC中點，

∴BE⊥OC，

∴GP⊥AC，

∴∠APG=∠EPG=90°

∵GP∥BE，G為AB中點，

∴P為AE中點，即AP=PE，且GP=BE，

在△APG和△EGP中，

，

∴△APG≌△EPG（SAS），

∴AG=EG=AB，

∴EG=EF，即①成立，

∵EF∥BG，GF∥BE，

∴四邊形BGFE為平行四邊形，

∴GF=BE，

∵GP=BE=GF，

∴GP=FP，

∵GF⊥AC，

∴∠GPE=∠FPE=90°

在△GPE和△FPE中，

，

∴△GPE≌△FPE（SAS），

∴∠GEP=∠FEP，

∴EA平分∠GEF，即④成立．