Question

7．一個自然數a若恰好等于另一個自然數b的平方，則稱自然數a為完全平方數，如64=8²，64就是一個完全平方數，已知a=2001²+2001²×2002²+2002²，試說明：a是一個完全平方數．

Answer 1

分析 考慮到2001²、2002²都是數值較大的數，計算起來很不方便，因此可采用換元法，設x=2001，則2002=2001+1=x+1，然后再根據所設及題意對原式進行變形配成完全平方式．

解答 解：設x=2001，則2002=2001+1=x+1，故有：
a=x²+x²（x+1）²+（x+1）²
=x²-2x（x+1）+（x+1）²+2x（x+1）+x²（x+1）²
=[x-（x+1）]²+2x（x+1）+x²（x+1）²
=1+2x（x+1）+x²（x+1）²
=[1+x（x+1）]²
=[1+x+x²]²
=（1+2001+2001²）²
=4006003²，
故a是一個完全平方數．

點評 本題考查了完全平方數，在計算中巧用換元法靈活應用公式可化繁為簡，起到簡便計算的作用．