Question

如圖28-2-26，A、D是公園人工湖邊的兩棵樹，AB、BC、CD是公園內的甬路.小明同學想測出A、D兩點間的距離.于是他進行了如下測量：B點在A點北偏東α方向，C點在B點北偏東β方向.你認為它還需測出AB、BC、CD中哪些線段的長？并根據小明的測量和你的判斷推導出AD的表達式.

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：不管測量哪兩條邊長，都要構造α、β所在的直角三角形，作輔助線把四邊形分割成一個矩形和兩個直角三角形，用三角函數形式表示各邊長即可求得AD的長. 解：過B點作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為E、F. 由題意知測量任何兩條邊都可以，具體如下： （1）若只測量AB、BC的長度， 由題意，知AD⊥CD， ∴BF=DE. 在Rt△ABE中，AE=ABcosα； 在Rt△BFC中，BF=BCcosβ. ∴AD=AE+ED=ABcosα+BCcosβ. （2）若只測量AB、CD的長度， ∵在Rt△ABE中，AE=ABcosα，BE=ABsinα， ∴CF=CD-DF=CD-ABsinα. 在Rt△BFC中，BF=. ∴AD=AE+ED=ABcosα+. （3）若只測量CD、BC的長度， ∵在Rt△BFC中，BF=BCcosβ，CF=BCsinβ，DF=CD-CF=CD-BCsinβ. 在Rt△ABE中，AE=， ∴AD=AE+ED=BCcosα+.