Question

如圖1，直線y=x+（2+）分別交x軸，y軸于點A，C，點B為線段AC中點，連接OB，將△BOC折疊，使點B落在邊OC上點F處，折痕為DE，EF∥x軸．

（1）求點E和點F的坐標；
（2）若經過點E，F的拋物線與x軸交于點G，H，且點G坐標為（，0），求該拋物線的解析式；
（3）若點P是（2）中拋物線上（x軸下方）一點（圖2），PF交x軸于N，問是否存在使S_△GFN≥S_△GFP的點P？若存在，請求出點P橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線解析式求出點A、C的坐標，然后判斷出∠ACO=60°，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OB=BC，從而得到△BOC是等邊三角形，根據等邊三角形的每一個角都是60°，∠EOF=60°，設OF=x，然后表示出EF、OE，再根據折疊的性質，BE=EF，然后根據OB的長度列出方程求解即可得到x的值，然后即可求出點E、F的坐標；
（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把點E、F、G的坐標代入，利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（3）先求出拋物線與x軸的另一交點H的坐標，再根據△GFP分成△GFN與△GNP兩部分，因為點F的縱坐標為1，只要是點P的縱坐標的絕對值小于2即可滿足，然后求出點P的坐標為-2時的x的值，再結合圖形求解即可．
解答：解：（1）當y=0時，x+（2+）=0，
解得x=-2-3，
當x=0時，y=2+，
∴點A、C的坐標為A（-2-3，0），C（0，2+），
∴OA=2+3，OC=2+，
∵tan∠ACO===，
∴∠ACO=60°，
∴AC=2OC=2（2+），
∵點B為線段AC中點，
∴OB=BC=AC=2+，
∴△BOC是等邊三角形，∠EOF=60°，
設OF=x，∵EF∥x軸，
∴EF=OF•tan60°=x，
OE=2OF=2x，
∵△BDE沿DE折疊得到△FDE，
∴BE=EF=x，
∴OB=2x+x=2+，
解得x=1，
∴x=，2x=2，
所以，點E、F的坐標分別為E（-，1），F（0，1）；

（2）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得，
所以，拋物線解析式為y=-x²-x+1；

（3）存在．理由如下：
如圖，令y=0，則-x²-x+1=0，
解得x₁=，x₂=-2，
所以，點H的坐標為（-2，0），
∵S_△GFN≥S_△GFP，△GFP=△GFN+△GNP，
∴S_△GNP≤2S_△GFN，
∵GN是△GFN與△GNP公共底邊，
∴點P到GN的距離小于等于點F到GN的距離即可，
∵點F到GN的距離等于1，
∴點P到x軸的距離小于等于2，
又∵點P在x軸下方，
∴當點P的縱坐標為-2時，-x²-x+1=-2，
整理得，x²+x-18=0，
解得x₁=2，x₂=-3，
結合圖形可得，當-3≤x＜-2或＜x≤2時，S_△GFN≥S_△GFP．
點評：本題綜合考查了二次函數，主要利用了直線與坐標軸的交點的求解，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，待定系數法求二次函數解析式，（3）把三角形的面積轉化成利用點的縱坐標的關系求解是解題的關鍵．