Question

（本題滿(mǎn)分10分）已知：△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O過(guò)點(diǎn)B且分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)D、E，EF⊥AC，垂足為F．

（1）求證：直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）當(dāng)直線(xiàn)DF與⊙O相切時(shí)，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）連接OE．欲證直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)，只需證明EF⊥AC．利用等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°、等腰三角形OBE以及三角形的內(nèi)角和定理求得同位角∠BOE=∠A=60°，從而判定OE∥AC，所以由已知條件EF⊥AC判定OE⊥EF，即直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）連接DF．設(shè)⊙O的半徑是r．由等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°、三條邊都相等、以及在直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求得關(guān)于的方程，解方程即可．

解答：（1）證明：連接OE．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°；

在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°，∴∠BOE=∠A=60°，

∴OE∥AC（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）；

∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，即直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）【解析】
連接DF．

∵DF與⊙O相切，∴∠ADF=90°．

設(shè)⊙O的半徑是，則EB=，EC=，AD=．

在Rt△ADF中，∠A=60°，

∴AF=2AD=．∴FC=；

在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，

∴，解得，；∴⊙O的半徑是2．

考點(diǎn)：1．切線(xiàn)的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的判定與性質(zhì)．