Question

如圖，在△A₁B₁C₁中，取B₁C₁中點D₁、A₁C₁中點A₂，并連接A₁D₁、A₂D₁稱為第一次操作；取D₁C₁中點D₂、A₂C₁中點A₃，并連接A₂D₂、D₂A₃稱為第二次操作；取D₂C₁中點D₃、A₃C₁中點A₄，并連接A₃D₃、D₃A₄稱為第三次操作，依此類推…．記△A₁D₁A₂的面積為S₁，△A₂D₂A₃的面積為S₂，△A₃D₃A₄的面積為S₃，…△A_nD_nA_n+1的面積為S_n．若△A₁B₁C₁的面積是1，則S_n=

 

．（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由圖得，A₂是A₁C₁的中點，D₁是B₁C₁的中點，根據(jù)三角形的中位線定理，S_△A2D1C1：S_△A1B1C1=1：4，S_△A1D1A2=S_△A2D1C1，所以，可得S₁=

1

4

，同理可得出，S₂=

1

42

，S₃=

1

43

，…，S_n=

1

4n

；即可解答出．

解答：解：根據(jù)題意得，
∵A₂是A₁C₁的中點，D₁是B₁C₁的中點，
∴S_△A1D1A2=S_△A2D1C1，S_△A2D1C1：S_△A1B1C1=1：4，
∴S_△A1D1A2：S_△A1B1C1=1：4，
又∵△A₁B₁C₁的面積是1，
∴S_△A1D1A2=

1

4

，即S₁=

1

4

，
同理可得，S₂=

1

42

，S₃=

1

43

，…，S_n=

1

4n

；
故答案為：

1

4n

．

點評：本題主要考查了三角形的面積，注意三角形中位線定理及等底等高的兩個三角形的面積相等的性質(zhì)定理的應(yīng)用，同時，要掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．