Question

【題目】已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點E在AC上（E與A、C均不重合）．

(1)若點F在AB上，且EF平分Rt△ABC的周長，設AE＝x，用含x的代數式表示

△AEF的面積S△AEF；

(2)若點F在折線ABC上移動，試問是否存在直線EF將Rt△ABC的周長與面積同時平分？若存在直線EF，則求出AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S△AEF＝（0＜x≤3）；（2）存在直線EF將Rt△ABC的周長與面積同時平分，AE的長是．

【解析】

(1)、根據AE=x得到AF，然后表示出DF，利用三角形的面積列出兩個變量之間的關系式即可；(2)、根據EF平分三角形ABC的面積列出有關x的一元二次方程，解得有意義即可判定存在．

（1）如圖1，過點F作FM⊥AC于M，

Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，得AB＝5，∴△ABC周長為12

EF平分△ABC的周長，AE＝x，可得AE＋AF＝CE＋BC＋BF，

即：x＋AF＝3－x＋4＋5－AF，解得AF＝6－x．

由△AMF∽△ACB可知，

AF∶AB＝FM∶BC，即（6—x）∶5＝FM∶4，

解得FM＝

∴S△AEF＝（0＜x≤3）

（2）若EF存在，

①當F在AB上時，如圖1，

則由（1）可知，S△AEF＝，得

化簡得，，由，

解得：，（不合題意舍去）．

②當F在BC上時，如圖2，

CF＋CE＝AE＋AB＋BF，

即CF＋3－x＝x＋5＋4－CF，

CF＝3＋x，

根據面積平分得出S△CFE＝

∴＝3，得，（舍去），

當時，CF＝3＋x＝3＋＞BC，故舍去

綜上所述，即存在直線EF將Rt△ABC的周長與面積同時平分，AE的長是．