Question

如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）當(dāng)點D在斜邊AB內(nèi)部時，求證：

CD2-BD2

BC2

=

AD-BD

AB

．
（2）當(dāng)點D與點A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由．
（3）當(dāng)點D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由．

Answer 1

證明：（1）作DE⊥BC，垂足為E．由勾股定理得

CD2-BD2=(CE2+DE2)-(BE2+DE2) =CE2-BE2=(CE-BE)BC.

所以

CD2-BD2

BC2

=

CE-BE

BC

=

CE

BC

-

BE

BC

．
因為DE∥AC，所以

CE

BC

=

AD

AB

，

BE

BC

=

BD

AB

．
故

CD2-BD2

BC2

=

AD

AB

-

BD

AB

=

AD-BD

AB

．

（2）當(dāng)點D與點A重合時，第（1）小題中的等式仍然成立．
此時有AD=0，CD=AC，BD=AB．
所以

CD2-BD2

BC2

=

AC2-AB2

BC2

=

-BC2

BC2

=-1，

AD-BD

AB

=

-AB

AB

=-1．
從而第（1）小題中的等式成立．

（3）當(dāng)點D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式不成立．

作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，則

CD2-BD2 BC2 = CE2-BE2 BC2 =- CE+BE BC =-1- 2CE BC ，

而

AD-BD

AB

=

-AB

AB

=-1，
所以

CD2-BD2

BC2

≠

AD-BD

AB

．