Question

【題目】某公園要修建一個截面拋物線形的拱門，其最大高度為4.5m，寬度OP為6米，現以地面（OP所在的直線）為x軸建立平面直角坐標系（如圖1所示）

（1）求這條拋物線的函數表達式；

（2）如圖所示，公園想在拋物線拱門距地面3米處釘兩個釘子以便拉一條橫幅，請計算該橫幅的寬度為多少米？

（3）為修建該拱門，施工隊需搭建一個矩形“支架“ABCD（由四根木桿AB﹣BC﹣CD﹣DA組成），使B，C兩點在拋物線上．A，D兩點在地面OP上（如圖2所示），請你幫施工隊計算一下最多需要準備多少米該種木桿？

Answer 1

【答案】（1）（2）2（3）最多需要準備11米該種木桿．

【解析】

（1）把拋物線的解析式設成頂點式，再代入（6，0），求得結果；

（2）令y=3，求出x2+3x=3的解，再求其橫坐標之差的絕對值便可；

（3）設B（x，x2+3x），用x表示矩形ABCD的周長，根據周長關于x的函數解析式求出其最大值便可．

解：（1）由題意知拋物線的頂點坐標為（3，4.5），則

設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣3）2+4.5，

∵拋物線上有一點（6，0），

∴0＝9a+4.5，

∴a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣+4.5，

即y＝（0≤x≤6）；

（2）當y＝3時，＝3，

解得，，，

∴該橫幅的寬度為：（3+）﹣（3﹣）＝2（米），

答：該橫幅的寬度為2米；

（3）設B（x，y）

∴B（x，）

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝DC＝，

根據拋物線的軸對稱性，可得：OA＝DP＝x，

∴AD＝6﹣2x，即BC＝6﹣2x，

∴令L＝AB+BD+DC+AD＝2（）+2（6﹣2x）＝﹣（x﹣1）2+11．

∴當x＝1，L最大值為11，

∴AB、BD、DC、AD的長度之和最大值為11米，/span>

答：最多需要準備11米該種木桿．