Question

如圖，△ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A₁、B₁，則四邊形A₁ABB₁的面積為，再分別取A₁C、B₁C的中點A₂、B₂，A₂C、B₂C的中點A₃、B₃，依次取下去…．利用這一圖形，能直觀地計算出＋＋＋…＋＝________．

Answer 1

1-解析:
）∵正△ABC面積為1，A₁、B₁分別為AC、BC兩邊的中點，
∴S_△A1B1C= S_△ABC=  ，
∴S_{四邊形ABB1A1}=3S_△A1B1C=3× ，
同理S_△A2B2C= S_△A1B1C= × = ，
∴S_{四邊形A1B1B2A2}=3_S△A2B2C=3×，
…
以此類推S_{四邊形An-1Bn-1BnAn}=3S_△AnBnC=3×，
S_△AnBnC= ，
∵S_△ABC=S_{四邊形ABB1A1}+S_{四邊形A1B1B2A2}+…+S_{四邊形An-1Bn-1BnAn}+S_△AnBnC=1，
即3× +3× +…+3×+ =1，
∴+ +…+=1-．