Question

如圖，△ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A₁、B₁，則四邊形A₁ABB₁的面積為

 

，再分別取A₁C、B₁C的中點A₂、B₂，A₂C、B₂C的中點A₃、B₃，依次取下去…．利用這一圖形，能直觀地計算出

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=

 

．

Answer 1

分析：對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．通過分析找到各部分的變化規律后用一個統一的式子表示出變化規律是此類題目中的難點．

解答：解：∵A₁、B₁分別是AC、BC兩邊的中點，
且△ABC的面積為1，
∴△A₁B₁C的面積為1×

1

4

．
∴四邊形A₁ABB₁的面積=△ABC的面積-△A₁B₁C的面積=

3

4

=1-

1

4

；
∴四邊形A₂A₁B₁B₂的面積=△A₁B₁C的面積-△A₂B₂C的面積=

1

4

-

1

42

=

3

42

．
…，
∴第n個四邊形的面積=

1

4n-1

-

1

4n

=

3

4n

．
故

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

42

）+…+（

1

4n-1

-

1

4n

）=1-

1

4n

．
故答案為：

3

4

，1-

1

4n

．

點評：主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．