Question

正方形ABCD中，點F為正方形ABCD內的點，△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉90°后與△BEA重合．
（1）如圖1，若正方形ABCD的邊長為2，BE=1，FC=，求證：AE∥BF；
（2）如圖2，若點F為正方形ABCD對角線AC上的點，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可以得出△BFE是直角三角形，就有∠BFC=90°，由旋轉可得∠EBF=∠AEB=90°，就有∴∠AEB+∠EBF=180°，從而得出結論．
（2）在正方形中根據勾股定理可以求出AC，由AF：FC=3：1可以求出AF、CF的長．由旋轉可以求出AE=CF，BE=BF，∠BEF=90°，△AEF是直角三角形，從而求出EF的長．進而由勾股定理可以求出BF的值．
解答：解：（1）證明：∵△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉90°后與△BEA重合
∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC
在△BFC中，
∵，
BC²=2²=4
∴BF²+FC²=BC²
∴∠BFC=90°…（3分）
∴∠AEB+∠EBF=180°
∴AE∥BF…（4分）
（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得
AC==2．
∵AF：FC=3：1，
∴AF=AC=，FC=AC=    
∵△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉90°后與△BEA重合
∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，，
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠EAB+∠BAC=90°
即∠EAF=90°
在Rt△EAF中，，
在Rt△EBF中，EF²=BE²+BF²
∵BE=BF
∴．
點評：本題考查了正方形的性質，勾股定理、勾股定理的逆定理的運用，旋轉的性質，平行線的判定，在解答的過程中要注意旋轉過程中的不變量的運用．